결론부터 말씀드리면,
"침", "짐" 둘 다 맞다고 봐야 할 것 같습니다.

斟자는 원래 侵(침) 평성(平聲)으로 과거에는 "침"으로 독음했다고 합니다. 16세기에 간행된 것으로 보이는 <新增類合>에 斟을 "술 부을 침"이라고 훈과 음을 붙여 놓았습니다.

그 외에 20세기 초에 간행된 자전, 옥편류에도 "술 부을 침" 또는 "잔질할 침"으로 훈과 음을 달아 놓은 것들이 발견됩니다.

斟은 또한 "짐"으로 읽기도 하는데 그런 예도 여러 곳에서 발견됩니다.
특히 근래에 발간된 자전/옥편류에서는 "술 따를 짐"으로 훈과 음을 달아 놓은 것들이 대부분입니다.

추측컨대 斟의 원음(原音)은 "침"이었으나 "짐"으로 순화(?)하여 읽게 된 것이 아닐까 斟酌(짐작)됩니다. 즉 "斟酌한다"는 말이 "침작한다"에서 "짐작한다(사정이나 형편을 어림쳐서 헤아림)"로 바뀐 것과 같은 맥락으로 볼 수 있을 것입니다. 따라서 오늘날에는 "짐"이 일반적인 음으로 정착된 것 같습니다. (그러나 현재에도 斟量의 경우에는 "침량"이라는 독음이 "짐량"과 더불어 여전히 함께 쓰이고 있습니다.)

아무튼 斟을 "침"으로 읽든 "짐"으로 읽든 틀린 것이 아니므로 크게 문제 삼을 일은 아닌 것으로 판단합니다.
 
아마도 우리 반남박씨 종중에서는 원음(原音)을 살린다는 의도에서 斟을 "침"으로 독음하고 있는 것 같습니다. 따라서 그 관례에 따르면 될 것으로 보입니다.

제 말씀이 도움이 되었는지 모르겠습니다. 천학으로 실례를 범한 것 같아 송구스럽습니다.
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시제홀기에보면

집사자 침주 이작 수헌관 [침주 斟酒]

침주 에  침  ---짐(斟) 자로

執事者 斟酒 以爵 授獻官

(斟-술따를 짐)

아시는 분께서는 설명 좀 해주시지요.